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<!DOCTYPE html>

<title>Additives Modell</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Additives Modell</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>In der <a href="Statistik" title="Statistik">Statistik</a> ist ein <b>additives Modell</b> (<b>AM</b>) ein <a href="Nichtparametrische_Statistik" title="Nichtparametrische Statistik">nichtparametrisches</a> <a href="Regressionsanalyse" title="Regressionsanalyse">Regressionsmodell</a>. Es wurde durch Jerome H. Friedman und Werner Stuetzle (1981)<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> vorgeschlagen. Das additive Modell verwendet einen eindimensionalen <a href="Gl%C3%A4tten_(Mathematik)" title="Glätten (Mathematik)">Glätter</a>, um eine eingeschränkte Klasse von nichtparametrischen Regressionsmodellen zu bilden. Daher ist das Modell weniger durch den <a href="Fluch_der_Dimensionalit%C3%A4t" title="Fluch der Dimensionalität">Fluch der Dimensionalität</a> betroffen als beispielsweise ein <i>p</i>-dimensionaler Glätter. Das <i>AM</i> ist flexibler als gewöhnliche <a href="Lineare_Regression" title="Lineare Regression">lineare Regressionsmodelle</a>. Probleme, die beim additiven Modell auftreten können, sind <a href="%C3%9Cberanpassung" title="Überanpassung">Überanpassung</a> und <a href="Multikollinearit%C3%A4t" title="Multikollinearität">Multikollinearität</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Das_Standardmodell_der_additiven_Regression">Das Standardmodell der additiven Regression</h2></div>

<p>Gegeben seien die Beobachtungen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (y_{i},x_{i1},x_{i2},\ldots ,x_{ik})\quad ,i=1,\ldots ,n}">

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1e6931ee44745db7906ec78e6eb19d4991f53f5b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.876ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (y_{i},x_{i1},x_{i2},\ldots ,x_{ik})\quad ,i=1,\ldots ,n}" loading="lazy"></span> einer stetigen <a href="Antwortvariable" class="mw-redirect" title="Antwortvariable">Antwortvariablen</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"></span> und <a href="Abh%C3%A4ngige_und_unabh%C3%A4ngige_Variable#Statistische_Bezeichnungen_und_Konzepte" title="Abhängige und unabhängige Variable">erklärenden Variablen</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc65b0a4775c6e182da70f0c1e4feaf2cb316c59.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.398ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}}" loading="lazy"></span>, deren Effekte auf die Antwortvariable durch einen <a href="Lineare_Pr%C3%A4diktorfunktion" class="mw-redirect" title="Lineare Prädiktorfunktion">linearen Prädiktor</a> modelliert werden können. Zusätzlichen liegen die Beobachtungen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (z_{i1},z_{i2},\ldots ,z_{iq})\quad ,i=1,\ldots ,n}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (z_{i1},z_{i2},\ldots ,z_{iq})\quad ,i=1,\ldots ,n}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33f5e6d7c2de3a8fe5de0d783bf8abd4c87e3361.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.057ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (z_{i1},z_{i2},\ldots ,z_{iq})\quad ,i=1,\ldots ,n}" loading="lazy"></span> einer stetigen erklärenden Variablen vor, deren Effekte <a href="Nichtparametrische_Statistik" title="Nichtparametrische Statistik">nichtparametrisch</a> analysiert und modelliert werden. Das Standardmodell der additiven Regression ist – falls keine <a href="Interaktionseffekt" title="Interaktionseffekt">Interaktionseffekte</a> zwischen den erklärenden Variablen enthalten sind – gegeben durch:<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{i}=f_{1}(z_{i1})+\ldots +f_{q}(z_{iq})+\beta _{0}+x_{i1}\beta _{1}+x_{i2}\beta _{2}+\dotsc +x_{ik}\beta _{k}+\varepsilon _{i}=f_{1}(z_{i1})+\ldots +f_{q}(z_{iq})+\eta _{i}^{lin.}+\varepsilon _{i}=\eta _{i}^{add.}+\varepsilon _{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0defef677fcc5c11985ff36eead72f498f7f2499.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:115.301ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle y_{i}=f_{1}(z_{i1})+\ldots +f_{q}(z_{iq})+\beta _{0}+x_{i1}\beta _{1}+x_{i2}\beta _{2}+\dotsc +x_{ik}\beta _{k}+\varepsilon _{i}=f_{1}(z_{i1})+\ldots +f_{q}(z_{iq})+\eta _{i}^{lin.}+\varepsilon _{i}=\eta _{i}^{add.}+\varepsilon _{i}}" loading="lazy"></span>,</dd></dl>

<p>wobei für die linearen Prädiktoren <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta _{i}^{lin.}=\beta _{0}+x_{i1}\beta _{1}+x_{i2}\beta _{2}+\dotsc +x_{ik}\beta _{k}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta _{i}^{lin.}=\beta _{0}+x_{i1}\beta _{1}+x_{i2}\beta _{2}+\dotsc +x_{ik}\beta _{k}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a7f068108a5b39ed94147555da206c3a943853c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:39.493ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \eta _{i}^{lin.}=\beta _{0}+x_{i1}\beta _{1}+x_{i2}\beta _{2}+\dotsc +x_{ik}\beta _{k}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta _{i}^{add.}=f_{1}(z_{i1})+\ldots +f_{q}(z_{iq})+\eta _{i}^{lin.}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta _{i}^{add.}=f_{1}(z_{i1})+\ldots +f_{q}(z_{iq})+\eta _{i}^{lin.}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b36f5a81eeaa429d54fb0dfa152b954fab38be6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:35.982ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \eta _{i}^{add.}=f_{1}(z_{i1})+\ldots +f_{q}(z_{iq})+\eta _{i}^{lin.}}" loading="lazy"></span> gilt.

</p><p>Die Funktionen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{1}(z_{1}),\ldots ,f_{q}(z_{q})}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{1}(z_{1}),\ldots ,f_{q}(z_{q})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/07a2519a6316e3ebd205d0c70dc934cbe68f9c3a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.323ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f_{1}(z_{1}),\ldots ,f_{q}(z_{q})}" loading="lazy"></span> stellen die nichtlinearen Glättungseffekte der erklärenden Variablen dar und werden mittels nichtparametrischer Verfahren modelliert und geschätzt. Die gleichen Annahmen bzgl. der <a href="St%C3%B6rgr%C3%B6%C3%9Fe_und_Residuum" title="Störgröße und Residuum">Störgrößen</a> wie beim <a href="Klassisches_lineares_Modell_der_Normalregression" title="Klassisches lineares Modell der Normalregression">klassischen linearen Modell</a> werden getroffen (siehe <a href="Lineare_Einfachregression#Annahmen_über_die_Störgrößen" title="Lineare Einfachregression">Lineare Einfachregression#Annahmen über die Störgrößen</a>). Bei additiven Modellen tritt das <a href="Identifikationsproblem" title="Identifikationsproblem">Identifikationsproblem</a> auf.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Verallgemeinerte_additive_Modelle_f%C3%BCr_Lage-%2C_Skalen-_und_Formparameter" title="Verallgemeinerte additive Modelle für Lage-, Skalen- und Formparameter">Verallgemeinerte additive Modelle für Lage-, Skalen- und Formparameter</a></li>

<li><a href="Streudiagramm-Gl%C3%A4tter" title="Streudiagramm-Glätter">Streudiagramm-Glätter</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Ludwig_Fahrmeir" title="Ludwig Fahrmeir">Ludwig Fahrmeir</a>, <a href="Thomas_Kneib" title="Thomas Kneib">Thomas Kneib</a>, Stefan Lang: <cite style="font-style:italic">Regression: Modelle, Methoden und Anwendungen.</cite> 2. Auflage. Springer Verlag, 2009, ISBN 978-3-642-01836-7.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Additives+Modell&rft.au=Ludwig+Fahrmeir%2C+Thomas+Kneib%2C+Stefan+Lang&rft.btitle=Regression%3A+Modelle%2C+Methoden+und+Anwendungen.&rft.date=2009&rft.edition=2.&rft.genre=book&rft.isbn=9783642018367&rft.pub=Springer+Verlag" style="display:none"> </span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Friedman, J.H. und Stuetzle, W. (1981). <i>Projection Pursuit Regression</i>, <i>Journal of the American Statistical Association</i> 76:817–823. <a href="https://doi.org/10.1080/01621459.1981.10477729" class="extiw external" title="doi:10.1080/01621459.1981.10477729">doi:10.1080/01621459.1981.10477729</a></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Ludwig Fahrmeir, <a href="Thomas_Kneib" title="Thomas Kneib">Thomas Kneib</a>, Stefan Lang, Brian Marx: <i>Regression: models, methods and applications.</i> Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 536.</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: <i>Regression: models, methods and applications.</i> Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 536.</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>